Métodos de Matemática Aplicada
Métodos de Matemática Aplicada
Navarro Llinares, Juan F.
Este texto aborda la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, tal como se imparte en la asignatura Métodos de Matemática Aplicada de la Licenciatura de Matemáticas en la Universidad de Alicante. En los cuatro primeros capítulos, incluye una revisión de algunas propiedades fundamentales de la exponencial de una matriz, y hace un estudio de los equilibrios y las órbitas pe...
Sinopsis
Este texto aborda la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, tal como se imparte en la asignatura Métodos de Matemática Aplicada de la Licenciatura de Matemáticas en la Universidad de Alicante. En los cuatro primeros capítulos, incluye una revisión de algunas propiedades fundamentales de la exponencial de una matriz, y hace un estudio de los equilibrios y las órbitas periódicas de un sistema diferencial, construyendo la demostración del teorema de Poincaré-Bendixson. La parte restante del libro se dedica a la teoría de estabilidad, abarcando métodos para sistemas lineales y no lineales. El texto incorpora un buen número de gráficos y problemas resueltos con detalle para ilustrar los conceptos teóricos que se exponen. Juan F. Navarro es profesor titular en la Universidad de Alicante, imparte docencia en las titulaciones de Matemáticas y Arquitectura Técnica. Sus líneas de trabajo son los Sistemas Dinámicos y el estudio de la rotación la Tierra. Su trabajo en este último apartado, coordinado por la doctora Veronique Dehant, del Observatorio Real de Bélgica, fue galardonado con el Premio Descartes en 2003.
Índice
1. La matriz fundamental.
1.1. Introducción.
1.2. La matriz fundamental.
1.3. La matriz exponencial de un sistema lineal.
1.3.1. Sistemas de dimensión dos.
1.3.2. Sistemas de dimensión tres.
1.4. Solución general de un sistema lineal.
1.4.1. Solución general de un sistema de dimensión dos.
1.4.2. Solución general de un sistema de dimensión tres.
2. Sistemas autónomos.
2.1. Espacio de fase y órbitas.
2.2. Puntos de equilibrio.
2.3. Soluciones periódicas.
2.4. Integrales primeras.
2.5. Sistemas conservativos.
2.5.1. Campos de fuerzas centrales.
3. Soluciones de equilibrio.
3.1. Sistemas lineales de dimensión dos.
3.2. Sistemas de dimensión tres.
3.3. Puntos críticos de sistemas no lineales.
4. Soluciones periódicas.
4.1. El criterio de Bendixson.
4.2. Preliminares del teorema de Poincaré-Bendixson.
4.3. El teorema de Poincaré-Bendixson.
4.3.1. Aplicaciones del teorema de Poincaré-Bendixson.
5. Introducción a la teoría de la estabilidad.
5.1. Introducción.
5.2. Estabilidad en el sentido de Liapunov.
5.3. Puntos fijos de una aplicación.
5.3.1. Aplicaciones reales de variable real.
5.3.2. Sistemas planos.
5.4. Estabilidad orbital.
5.4.1. Estabilidad orbital.
6. Estabilidad de sistemas lineales.
6.1. Sistemas lineales de coeficientes constantes.
6.2. Sistemas lineales dependientes del tiempo.
6.2.1. Otros resultados.
6.3. Sistemas de coeficientes periódicos.
6.3.1. Logaritmo de una matriz.
6.3.2. Teorema de Floquet.
6.4. Linealización en torno a una solución periódica.
7. Estabilidad mediante linealización.
7.1. Estabilidad asintótica de la solución trivial.
7.2. Inestabilidad de la solución trivial.
8. Método directo de Liapunov.
8.1. Introducción.
8.2. Funciones de Liapunov.
8.3. Teoremas de estabilidad.
8.4. Sistemas conservativos.
8.5. Sistemas con varias integrales primeras.
A. Integrales de línea y teorema de Green.
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